题目

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-04-01

答案

∵g（x）=|x-1|-|x-2|，
∴g（x）∈[-1，1]
若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，
则a²+a+1＞1恒成立
即a²+a＞0恒成立
解得a＜-1，或a＞0
即实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）
故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）

根据绝对值函数的图象和性质，我们易得函数g（x）=|x-1|-|x-2|的值域为[-1，1]，若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则a²+a+1＞1恒成立，解不等式即可求出实数a的取值范围．

本题考点：集合关系中的参数取值问题；带绝对值的函数．

考点点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，带绝对值的函数，其中根据绝对值函数的图象和性质，得到函数g（x）的值域，将问题转化为函数恒成立问题，是解答本题的关键．