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题目
在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为(  )
A. (-2,-9)
B. (0,-5)
C. (2,-9)
D. (1,6)

提问时间:2021-04-01

答案
两点坐标为(-4,11-4a);(2,2a-1),
两点连线的斜率k=
11-4a-2a+1
-4-2
=a-2

对于y=x2+ax-5,
y′=2x+a,
∴2x+a=a-2解得x=-1,
在抛物线上的切点为(-1,-a-4),
切线方程为(a-2)x-y-6=0,
该切线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离=圆半径,
6
(a-2)2+1
36
5

解得a=4或0(0舍去),
抛物线方程为y=x2+4x-5顶点坐标为(-2,-9).
故选A.
求出两个点的坐标,利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率;利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标;利用直线方程的点斜式求出直线方程;利用直线与圆相切的条件求出a,求出抛物线的顶点坐标.

抛物线的应用.

本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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