题目

在抛物线y=x²+ax-5（a≠0）上取横坐标为x₁=-4，x₂=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）
A. （-2，-9）
B. （0，-5）
C. （2，-9）
D. （1，6）

提问时间：2021-04-01

答案

两点坐标为（-4，11-4a）；（2，2a-1），
两点连线的斜率k=

11-4a-2a+1

-4-2

=a-2，
对于y=x²+ax-5，
y′=2x+a，
∴2x+a=a-2解得x=-1，
在抛物线上的切点为（-1，-a-4），
切线方程为（a-2）x-y-6=0，
该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，

6

(a-2)2+1

= 

36 5

解得a=4或0（0舍去），
抛物线方程为y=x²+4x-5顶点坐标为（-2，-9）．
故选A．

求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．

本题考点：抛物线的应用．

考点点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．