题目

中国剩余定理解决6位教授首次必须同时停课问题

提问时间：2021-04-01

答案

网上搜索“6位教授首次必须同时停课问题”得到两个内容.
一：
6位教授从周一至周六每隔2、3、4、1、6和5天授一次课,禁止周日上课,什么时候首次必须都必须停课.
二：
六位教授在周一至周六开始上课,这六位教授分别每2,3,4,1,6,5天授课一次,
该学校禁止周天上课,因此周天必须停课,问什么时候所有六位教授首次发现他们必须同时停课?
我的回答：
我认为,这个题,必须声明几个术语,消除歧义.
A,这里的隔1天,指每2天上一次课,即每隔48小时上一次课,如周四上课之后,下一次在周六.
a,这里的隔1天,指每隔24小时上一次课,即每1天(于同样时间)上一次课.
以上按选项a,每隔几天与每几天(于同样时间)是一个意思了.
外一则：
此时我们消除对题意的一个误解.比如将题意误解为：6位教授周一都有课,此后各人分别每隔2、3、4、1、6和5天授一次课,禁止周日上课,什么时候首次必须都必须停课.这个误解后的题目,在选项A的意义下,答案是周二.
B,隔多少天,周日参与这个多少天的计数,本来算来在周日有课的,取消上课,算是已经上过,以下照样推算.
b,隔多少天,周日不参与这个多少天的计数.
这里按选项B.
C,依前述选项a,有个老师周四上课,此后除周日之外每天都有课.故依此,本题的答案必在周日.
c,禁止周日上课,即周日自然取消上课,而不算作是每个老师于周日停课,于是不能将此题答案解释为第一个周日.
于是依选项aBC,题目如下：
6位教授分别于第一周的周一至周六开始上课,此后分别每2、3、4、1、6和5天(的相同时间)授一次课,禁止周日上课,以第一周周一为第一天,第几天首次必须都停课
设第M天所有六位教授首次发现必须同时停课,则满足下面的方程组：
M==1 mod 2
M==2 mod 3
M==3 mod 4
M==4 mod 1
M==5 mod 6
M==6 mod 5
M==0 mod 7
易见以上同余式组可等效简化如下：
M==3 mod 4 注：包含了 M==1 mod 2
M==5 mod 6 注：等效于 M==1 mod 2且M==2 mod 3
M==6 mod 5
M==0 mod 7
进一步,以上同余式组可等效简化如下：
M==3 mod 4
M==2 mod 3
M==6 mod 5==1 mod 5
M==0 mod 7
解前两式得M==-1 mod 12
再联合第三式得M==11 mod 60
再与第四式联合,可设M=11+60k==0 mod 7
即4+4k==0 mod 7,即k==-1==6 mod 7
取k为最小正整数即为6,于是M==11+60*6=371
若依选项ABc,则题目是：
6位教授分别于第一周的周一至周六开始上课,此后分别每3、4、5、2、7和6天(的相同时间)授一次课,禁止周日上课,以第一周周一为第一天,第几天首次必须都停课
设第M天所有六位教授首次发现必须同时停课,则满足下面的方程组：
M==1 mod 3
M==2 mod 4
M==3 mod 5
M==4 mod 2
M==5 mod 7
M==6 mod 6
注,此时无解.并且,M==0 mod 7也不可能,即选项C必须忽略.
以下有些复杂化的倾向,可能衍生更多小问题.仅作备忘,有兴趣的朋友请研究一下.
又,要是只规定时间按周一到周六循环,不设定周日,又当如何.
若依选项Ab,则题目是：
6位教授分别于第一周的周一至周六开始上课,禁止周日上课,此后分别每2、3、4、1、6和5天(的相同时间)授一次课,周日不计算在上课周期以内.以第一周周一为第一天,第几天首次必须都停课
若依选项aB,则题目是：
6位教授分别于第一周的周一至周六开始上课,禁止周日上课,此后分别每3、4、5、2、7和6天(的相同时间)授一次课,周日不计算在上课周期以内.以第一周周一为第一天,第几天首次必须都停课