题目

已知{向量a,向量b,向量c}是空间的一个基地,求证：{向量a+向量b,向量a-向量b,向量c}也构成空间的一个基底

提问时间：2021-04-01

答案

这...显然是大学线性代数或者高等代数的题
只要证明这三个新向量线性无关即可（因为三维空间之多有三个基）,或者证明空间中任何一个向量可以由着三个新向量表示
具体证明如下
法一：
设如果存在三个数x,y,z使得x(a+b)+y(a-b)+zc=0(零向量)
则（x+y）a+(x-y)b+zc=0
由a,b,c线性无关可知x+y=0,x-y=0,z=0
即新的三个向量线性无关
法二：
对于空间中任何一个向量w=xa+yb+zc=0.5(x+y)(a+b)+0.5(x-y)(a-b)+zc
即空间中任何一个向量可以由着三个新向量表示
其实第二种方法是不严谨的,但是对于高中的要求已经足够了