题目

特征值与其对应的特征向量的基础解系里的向量个数有什么关系?
比如n阶矩阵A,它有一个特征值是1,那么,这个特征值对应的特征向量的基础解系里向量的个数是几个?是不是只能有一个?为什么
再如n阶矩阵A,它有3个特征值都是2,那么,这些特征值对应的特征向量的基础解系里向量的个数是几个?是不是只能是3个?或者也可以更多?为什么?

提问时间：2021-04-01

答案

这涉及到矩阵是否可以对角化的问题
如果矩阵的特征值的重数等于它对应的特征向量的基础解系里向量的个数,这个矩阵可对角化,否则只能化为约旦标准型
也就是说这个特征值是单根,那么它对应的特征向量的基础解系里向量的个数是1个
若是复根,则有2种情况
特征值的重数等于它对应的特征向量的基础解系里向量的个数,
你的例子,如n阶矩阵A,它的3个特征值都是2,若它对应的特征向量的基础解系里向量的个数也是3,就可对角化,若它对应的特征向量的基础解系里向量的个数是1或2,就不能对角化
当然显然的,特征值对应的特征向量的基础解系里向量的个数肯定是小于,或者等于特征值重数的,不可能比它大
你由
A[x1 ... xn]=[x1...xn][v1
.v2
.vn]
假设v2v3v4是相同的,那他们也最多对应3个特征向量（线性无关的）
所以综上：
1.特征值是单根,那么它对应的特征向量的基础解系里向量的个数是1个
2.特征值是复根,假设n重,那么它对应的特征向量的基础解系里向量的个数只能是是1-n之间的某个数,不可能比n大