题目

证明曲线x²+√3*y²=2,√3*x²-y²=2的四个交点共圆.

提问时间：2021-03-31

答案

证明：这算是一道解析几何题目.要证明4点共圆,只需要证明这4个点的坐标满足同一个圆的表达式（x-x0)²+(y-y0)²=R².由两个曲线的解析式,可以解出4个交点的坐标,详细过程如下：
设x²+√3*y²=2为1式,√3*x²-y²=2为2式,则(1式×√3)-2式,得到4y²=2(√3-1),则y²=(√3-1)/2,
将该结果代入1式,算得x²=(√3+1)/2.上述两个结果中,分别可以解出两个x和y值,他们可组合出4个坐标（根号里面又是根号,这里不好写,就不写出来了,反正不影响推导过程）,这4个坐标对应的点,就是两条曲线的4个交点.回头再看这4个点的坐标,已经推出它们均满足这样两个表达式：
x²=(√3+1)/2,以及y²=(√3-1)/2.将这两个表达式相加,得到x²+y²=√3,显然,这是一个圆心位于坐标原点、半径平方为√3的圆的解析式,根据以上分析,这4个交点的坐标均满足这个圆的解析式,因此该4点都在这个圆上,因此,4点共圆,证毕