题目

一道函数项级数的问题
f(x) = Σ(x+1/n)^n D = (-1,1) 讨论(1)函数项级数的一致收敛性 (2)和函数的连续性 记 Σ(x+1/n)^n = ΣUn(x)
(1)中,我用反证,如果ΣUn(x)一致收敛,那么ΣUn(1) 收敛,即Σ(1+1/n)^n 收敛,显然矛盾,所以ΣUn(x)不一致收敛 ； 在(2)中,我想证明和函数f(x)的连续性,首先要证ΣUn(x)一致收敛,采用的方法是对任意x∈(-1,1),取a(|x|

提问时间：2021-03-31

答案

注意区分这几种不同的一致收敛性:
①在[-1,1]一致收敛;
②在(-1,1)一致收敛;
③在(-1,1)内闭一致收敛.
显然①推出②推出③,但是反过来一般是不成立的.
只有②的话级数各项在x = 1处甚至未必有定义,更谈不上收敛.
所以你在(1)的证明中的写法有问题.
实际上,如果已知各项在[-1,1]上连续,则由②可推出① (可用Cauchy收敛准则证明).
从这个意义上你的证明是对的 (但理由不充分).
但其实不必绕这个弯,直接由sup{(x+1/n)^n :x ∈ (-1,1)} = (1+1/n)^n > 1,
根据Cauchy收敛准则知∑(x+1/n)^n在(-1,1)不是一致收敛的.
你在(2)的证明中,对任意x ∈ (-1,1),取a使|x| < a < 1.
但问题在于,对不同的x,这样取得的a不可能都是一样的.
因为对任意取定的a < 1,总存在x ∈ (-1,1)使|x| > a.
所以正确的叙述是:任意取定0 < a < 1,由根值判别法可知∑(a+1/n)^n收敛,
从而由Weierstrass判别法知∑(x+1/n)^n在[-a,a]一致收敛.
因此和函数在[-a,a]连续,又由a的任意性,和函数在(-1,1)连续.
注意证明得到的是∑(x+1/n)^n在(-1,1)内闭一致收敛,即③.
而③不能推出②,所以并不会与(1)的结果矛盾.
题外话:连续函数项级数(内闭)一致收敛是和函数连续的充分非必要条件.
虽说多数题目都是由此入手,但还是提醒一下区别.
总结一下,一致收敛性是与所选区域密切相关的,
建议不要像问题中一样一概以一致收敛来表述,
而是指明在哪个区间上一致收敛(或内闭一致收敛).
这样对理解应该更有帮助.