题目

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g(x)=

2x

3

．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-31

答案

（1）配方得f（x）=x2-2ax+4=（x-a）2+4-a2，当1≤a＜2时，m（a）=f（a）=4-a2，当a≥2时，m（a）=f（2）=8-4a∴m(a)=4-a2，1≤a＜28-4a，a≥2g（x）在区间[0，2]上单调递增函数，∴g(x)∈[0，43]．（2）由题设，对...

（1）配方确定函数的对称轴，结合函数的定义域，进行分类讨论，即可求出函数y=f（x）的最小值m（a），利用函数的单调性，可求g（x）的值域；
（2）对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，即使得f（x）_min＞g（x）_max，故可建立不等式组，从而可求a的取值范围．

本题考点：二次函数的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查二次函数的最值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，转化为f（x）_min＞g（x）_max．