题目
在数列{an}中,an=4n-1+n,n∈N*.
(1)求数{an}的前n项和Sn;
(2)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
(1)求数{an}的前n项和Sn;
(2)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
提问时间:2021-03-31
答案
(1)∵数列{an}的an=4n-1+n,n∈N*.
∴数列{an}的前n项和Sn=
+
=
(4n−1)+
(n2+n).
(2)证明:对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=
+
-4(
(4n−1)+
(n2+n)).
=−
(3n2+n−4)
当n=1时,S2=a1+a2=8,4S1=8,∴S2=4S1;
当n≥2时,3n+4>0,n-1>0,∴−
(3n2+n−4)<0,即Sn+1<4Sn.
∴不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
∴数列{an}的前n项和Sn=
4n−1 |
4−1 |
n(n+1) |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
(2)证明:对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=
4n+1−1 |
3 |
(n+1)(n+2) |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
=−
1 |
2 |
当n=1时,S2=a1+a2=8,4S1=8,∴S2=4S1;
当n≥2时,3n+4>0,n-1>0,∴−
1 |
2 |
∴不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
(1)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.
(2)对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=−
(3n2+n−4),对n分类讨论,n=1与n≥2时 即可证明.
(2)对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=−
1 |
2 |
数列的求和.
本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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