题目

已知:如图,以AB为直径的半圆的圆心在坐标原点,直径AB在X轴上,点P是X轴上的一点,PC是半圆的切线,C为切点,PC与y轴交于点D,连接AC.BC
（1）试探求∠BCP与∠APC的数量关系；
（2）当∠BAC=30°时,切线PC于X轴的交点为P(3,0),求此时切线PC的解析式
（3）若∠BAC=45°,则过点C的切线与X轴有怎样的位置关系?
（4）若∠BAC

提问时间：2021-03-31

答案

1) ,PC是半圆的切线 则OC⊥PC
∠APC+∠POC=90º
又以AB为直径的半圆的圆心在坐标原点O
所以 ∠ACB=90º
∠ACO=∠ACB-∠OCB=∠POC-∠OCB=∠BCP
又AO=OC
∠ACO=∠CAB
∠POC=∠ACO+∠CAB=2∠ACO=2∠BCP
所以∠APC+2BCP=90º
2) 当∠BAC=30°,由1）得 ∠COB=60º
∠APC=30º ∠PCB=30º
所以BC=BP
又OC=OB 所以三角形BOC为等边三角形 BO=BP
P(3,0),
则OB=OC=3/2
过C作CE⊥X轴,交X轴于E
则∠OCE=30º
EC=OC*1/2*根号3=3/2*1/2*根号3=3/4*根号3
OE=1/2*OC=3/4
则C点的坐标（3/4,3/4*根号3）
设切线PC的解析式 y=kx+b
把P(3.0) C(3/4,3/4*根号3) 代入得
3k+b=0 （1）
3/4k+b=3/4*根号3 （2）
（2）整理：3k+4b=3*根号3 (3)
(3)-(1) 3b=3*根号3 b=根号3 代入（1）
k=-1/3*根号3
切线PC的解析式 y=-1/3*根号3x+根号3
3）∠BAC=45°
因为圆心在坐标原点,所以C点应在Y轴上,
过点C的切线平行X轴
4）若∠BAC