题目

y=x^2e^x的麦克劳林公式的x^n的系数怎么求?

提问时间：2021-03-31

答案

首先公式是∑[f(i)(0)/i!]x^i, i从0到n
然后主要就是求这个函数的各阶导数
y'=2xe^x+x^2e^x
y''=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=2e^x+4xe^x+x^2e^x
y'''=2e^x+4e^x+4xe^x+2xe^x+x^2e^x=6e^x+6xe^x+x^2e^x
所以xe^x的系数是等差数列,为2n
e^x的系数的递推式为a(n+1)=an+2n,求出通项为an=n(n-1)
y(n)'=n(n-1)e^x+2nxe^x+x^2e^x
x^n前的系数应该是f(n)(0)/n!=n(n-1)/n!=1/(n-2)!
n=0, n=1时,系数为0,n>=2时,系数为1/(n-2)!