题目

如图,在三棱锥ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AB=根号2,BC=1,BB1=2,∠BCC1=60° （1）求证：C1B⊥平面
（1）求证：C1B⊥平面ABC
（2）求二面角A-CC1-B的正切值

提问时间：2021-03-31

答案

ABC-A1B1C1是三棱柱吧?
（1）
假设ABC-A'B'C'是三棱柱,那么
AA'//BB‘//CC',AA'=BB'=CC'=2
BC//B'C' ,BC=B'C'=1
因此 (BC')^2=2*2+1-2*2*cos60°=3
即 BC'=√3,
因此 三角形BCC'是直角三角形,BC'⊥BC
因为 AB⊥平面BB'CC'
所以 AB⊥BC,AB⊥BC’
故 BC'⊥平面ABC
（2）
在平行四边形BCC'B'中,过B作BD⊥CC',D是CC'上垂足,得Rt△BCD.
因为 BC=1,∠BCD=60°
所以 CD=1/2,BD=√3/2
在Rt△ABC中,AC^2=AB^2+BC^2=2+1=3.
连接AD
因为 AB⊥BD,BD⊥CD
所以 AD⊥CD
所以 二面角A-CC1-B=∠ADB
又 AD^2=AC^2-CD^2=3-(1/2)^2=11/4
根据余弦定理：
cos∠ADB=(BD^2+AD^2-AB^2)/2*BD*AD
=(3/4+11/4-2)/2*√3*√11/(2*2)
=√33/11
tan∠ADB=√(1/cos^2∠ADB-1)
=√(11^2/33-1)=√(8/3)=2√6/3