题目

如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：

（1）AP=AQ；
（2）AP⊥AQ．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：（1）∵BE、CF都是△ABC的高，
∴∠AFC=∠AFQ=∠AEB=90°．
∴∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠ACF=90°，
∴∠ABE=∠ACF．
在△ABP和△QCA中

AB＝QC ∠ABE＝∠ACF BP＝CA

，
∴△ABP≌△QCA（ASA），
∴AP=QA；
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠BAP=∠CQA．
∵∠CQA+∠FAQ=90°，
∴∠BAP+∠FAQ=90°，
即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．

（1）先由条件可以求出∠ABP=∠QCA，就可以得出△ABP≌△QCA，就可以得出AP=AQ；
（2）由△ABP≌△QCA就可以得出∠BAP=∠CQA，由∠CQA+∠FAQ=90°就可以得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了垂直的性质的运用，垂直的判定的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．