题目

已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a、b∈R,且a＜0）
设关于x的方程f（x）=0的两实根为x1和x2,而f（x）=x的两实根为α和β（1）若a、b均为负整数,且|α-β|=1,求f（x）的解析式；
（2）若α＜1＜β＜2,求证x1x2＜2

提问时间：2021-03-31

答案

(1)由f(x)=x可得到方程：ax^2+3x+b=0有两实根的前提是9-4ab>0
由于a,b均为负整数,那么就只有2种可能：a=-1或者-2,b=-1或者-2.
由α+β=-(3/a),αβ=b/a可以得出：
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(9-4ab)/a^2=1.所以有：
(9-4ab)^0.5=-a 由此可得：
a=-1,b=-2
f(x)=-x^2+4x-2
(2)由于α＜1＜β＜2,所以αβ=b/a