题目

（2000•河南）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD=CG．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AC=BC，∠ACH=∠CBA=45°．
∵CH⊥AB，AE⊥CF，
∴∠EDH+∠HGE=180°．
∵∠AGC=∠HGE，∠HDE+∠CDB=180°，
∴∠AGC=∠CDB．
在△AGC和△CDB中，

∠ACG＝∠CBD ∠AGC＝∠CDB AC＝CB

，
∴△AGC≌△CDB（AAS）．
∴BD=CG．

由等腰直角三角形的性质知，AC=BC，∠ACH=∠CBA=45°，故由AAS得△AGC≌△CDB⇒CG=CG．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．