题目

一直抛物线y=x2-4x+k的定点A在直线y=-4x-1,问：三角形的外接圆的面积是多少（写出详细过程）
已知抛物线y=x2-4x+k的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与x轴交于BC两点。问：三角形的外接圆的面积是多少（写出详细过程）k=-5

提问时间：2021-03-31

答案

首先求出k值,把对称轴x=2代入抛物线方程,得y=k-4,所以A坐标为A(2,k-4),A在直线y=-4x-1上,因此有-9=k-4,解得k=-5,所以A坐标为A(2,-9),抛物线方程为y=x²-4x-5,令抛物线方程y=0
可求得B、C两点坐标分别为B(-1,0),C(5,0),（这里B、C坐标反过来也无所谓）】

不知楼主上高中还是初三,本人猜楼主上初三,如果是高中,此题很容易,可以用正弦定理和余弦定理求解,不过这一题△ABC比较特殊,是等腰三角形,因此用初三的解法也不麻烦.解法如下：

作出△ABC外接圆,取BC的中点D,则D的坐标为(2,0),注意A(2,-9),它们的横坐标相同,所以必有AD垂直于x轴,所以AD垂直平分BC,所以有AB=AC,设AD延长线交外接圆于点E,连接CE,由于BC是外接圆的弦,AD垂直于BC,所以AE是圆的一条直径（圆的一个定理：垂直于弦的直线必过圆心）所以∠ACE=90°,易求出AD=9,CD=3,AC=√(AD²+CD²)=3√10,又有cos∠EAC=AC/AE=AD/AC,所以AE=AC²/AD=10,所以圆的半径为5,面积S=25π