题目

请用向量法解答下
(理)(2011·广东理)如下图,在锥体P－ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB＝60°,PA＝PD＝,PB＝2,E,F分别是BC,PC的中点．
(1)证明：AD⊥平面DEF；
(2)求二面角P－AD－B的余弦值
请用向量法解答下

提问时间：2021-03-31

答案

题目分析：
　　向量法有两种形式,
　　1）第一种是直接定义符号利用平行四边形法则进行,向量运算,这一种往往适合解二维
　　 平面中较简单的题目；
　　2）第二种是先定义坐标系,然后以坐标的形式表示向量,然后利用坐标去运算,此种方法
适合解复杂的题目,通用于平面和立方情况.
　　3）本题适合用第二种.
解题步骤：
　　1）建立坐标系：连接AC,连接BD交AC于O点,以O点为原点,AC所在直线为x轴,射线
AC所指方向为正方向建立平面直角坐标系.
　　2）计算坐标（不用证明）：
　　A（-0.5√3,0,0）,B（0,0.5,0）,C（0.5√3,0,0）,D（0,-0.5,0）, E（0.25√3,0.25,0）,F（(√3)/6,0,(√33)/6）,P（-(√3)/6,0,(√33)/3）
　　3）计算向量,并应用求
　　问题一：
　　AD=（0.5√3,-0.5,0）,DE=（0.25√3,0.75,0）,
　　EF=（-(√3)/12,-0.25,(√33)/6）
　　AD*DE=-0.5√3*0.25√3 + 0.75*0.5+0*0=0；AD垂直于DE；
　　AD*EF=-0.5√3*(√3)/12+0.5*0.25+0*(√33)/6＝0；AD垂直于EF；
　　DE与EF相交于E,所以AD垂直于平面DEF.
　　问题二：
　　取AD中点为G,则G（-0.25√3,-0.25,0）,PG=（-(√3)/12,-0.25,-(√33)/3）
　　PG*AD=0.5√3*(√3)/12-0.5*0.25-0*(√33)/3＝0；PG垂直于AD,且PG在平面PAD中；
　　因为DE垂直于AD,且DE在平面ADB中；
　　所以二面角P—AD—B的大小与PG、DE的夹角相等,设此角大小为a
　　则cos(a)=(PG*DE)/(||PG||*||DE||)=-3√5/16；
　　a=π-arccos(3√5/16).
　　4）检查计算过程与结果是否正确.
　　老城百姓