题目

证明：a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)≥32
a b c为正实数

提问时间：2021-03-31

答案

左边=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3 =0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3 ≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3 =0.5*3*3-3=3/2 证毕 或利用柯西不等式 [c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)]*[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]>=(a+b+c)^2 而[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]=2(ab+bc+ac)=0 所以c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=(a+b+c)^2/[2/3*(a+b+c)^2]=3/2