题目

抽象代数题
证明:如果群G的阶为偶数,则G必有2阶元

提问时间：2021-03-31

答案

根据Sylow第一定理：G是有限群,p是素数,如果p^k||G|,k>=0,那么G中一定有一个阶为p^k的子群.
定理中令p=2,k=1,则G有一个2阶子群,所以G中一定有2阶元.
也可以说:群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素.因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等.且当一个元素的阶大于2 时,其逆元和它本身不相等.故阶大于2 的元素是成对的.从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数.
因为该群的阶是偶数,从而它一定有阶为2 的元素.