题目

用费马小定理,求3^(3^9) mod 11

提问时间：2021-03-31

答案

　　费马点发现者
　　费马
　　费马(Fermat,Pierre de Fermat) (1601～1665）法国数学家,被誉为“业余数学家之王.”费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店,拥有相当丰厚的产业,使得费马从小生活在富裕舒适的环境中.图卢兹
　　费马点定义
　　在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
　　编辑本段费马点的判定
　　（1）对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点.费马点的计算
　　（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.
　　编辑本段证明
　　我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形
　　(1)费马点对边的张角为120度.△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度,∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.(3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1