题目

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线l过点C，AM⊥l于M点，BN⊥l于N点，

（1）探索线段MN与AM+BN之间有什么数量关系？
（2）已知：AM=1，BN=3，求三角形ABC的面积．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：（1）∵∠ACB=90°，AM⊥l，BN⊥l，
∴∠NBC=90°-∠BCN，∠MCA=180°-∠ACB-∠BCN=90°-∠BCN，
在△AMC和△CNB中

∠NBC＝∠MCA ∠AMC＝∠CNB AC＝BC

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，BN=MC，
∵CN+MC=MN，
∴AM+BN=MN；
（2）根据MN=AM+BN=4，
∴S_梯形AMNB=

1

2

(AM+BN)×MN=

1

2

×4×4=8，
∴S_△ABC=S_梯形AMNB-2S_△ACM=8-2×

1

2

×1×3=5．

（1）根据全等三角形的判定方法，可证得△AMC≌△CNB，即可得到AM+BN=MN；
（2）三角形ABC的面积=梯形AMNB的面积-三角形AMC的面积-三角形CNB的面积；

本题考点：等腰直角三角形；垂线；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，应根据题目已知条件选取适当的证明方法．