题目

求由方程所确定的隐函数在处的切线方程和法线方程

提问时间：2021-03-31

答案

这道题考查隐函数求导方法,求出x=0的倒数就是切线的斜率啦,k1=y‘,然后法线的斜率就是-1/y’.
x=0代入方程,得
sin0+lny=0 即lny=-1
解得y=1/e
也就是说x=0处曲线上的点是（0,1/e）（这句答题不写）
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求方程的导数,有两种方法.（这句答题不写,以下两种方法答题随便写一种）
方法一：对方程两边求导（注意y是x的函数）
cos(xy).(xy)'+1/(y-x).(y-x)'=1
cos(xy).(y+xy')+1/(y-x).(y'-1)=1
解得y'=[1+1/（y-x）-ycosxy]/[xcosxy+1/(y-x)]
方法二：令F(x,y)=sin(xy)+ln(y-x)-x,对函数求x,y偏导
Fx=ycosxy-1/（y-x）-1
Fy=xcosxy+1/（y-x）
则y’=-Fx/Fy=[1+1/（y-x）-ycosxy]/[xcosxy+1/(y-x)]
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y'|x=0=(1+e-1/e)/(0+e)=(e+e²-1）/e²
切线斜率k1=y'=(e+e²-1）/e²
切线方程为y-1/e=(e+e²-1）/e².(x-0)
即y=(e+e²-1)x/e²+1/e
法线斜率k2=-1/y’=-e²/(e+e²-1)
法线方程为y-1/e=-e²/(e+e²-1).(x-0)
即y=-e²x/(e+e²-1)+1/e