题目

2009年全国1卷理科数学第11题f（x+1）和f（x-1）是奇函数,定义域为R.答案f（x+3）为奇函数,解析说-f（x+1）=f（-x+1）即f（-x）=-f（2+x）,我很疑惑,不应该是f（-x-1）么?还有就是f（-x）=-f（2+x）是怎么得出来的?能不能详细的讲一下这一问和相关知识?

提问时间：2021-03-31

答案

1、举个例子：设f(x+1)=x是奇函数,则：-f(x+1) = -x ; f(-x+1) = -x
所以-f(x+1)=f(-x+1).
[说明：根据假设,f(x)=x-1,f(-x+1) = (-x+1)-1 = -x ]
结论：对于f(g(x))是奇(偶)函数的函数形式,变量是x而不是g(x).
f(g(x))=h(x)是奇函数,-f(g(x))=-h(x),f(x)=h(g-1(x)),
[说明：g-1(x)是g(x)的反函数]
f(g(-x))=h(g-1(g(-x)))=h(-x)=-h(x)=-f(g(x))
从以上的推导也可以看出变量是x.
2、-f（x+1）=f（-x+1）
将x=x+1带入便可得f（-x）=-f（2+x）
3、这一类题一般是用代换参数的方法变换以达到目的,将f(g(x))变换为f(x)等题目要求的形式