题目

已知2x²+3y²-6x=0（x,y∈R）则x²+y²的最大值是多少?
高中数学选修4-4的题,用参数方程解答

提问时间：2021-03-31

答案

已知2x²+3y²-6x=0（x,y∈R）,
2（x-3/2）²+3y²-2*3/2²=0
2（x-3/2）²+3y²=3/2
（x-3/2）²/（3/4）+y²/（1/2）=1
是一个中心为（3/2,0）长半轴为√3/2,短半轴为√2/2的椭圆
可设x=√3/2cosθ+3/2,y=√2/2sinθ
x²+y²
=3/4cos²θ+2*√3/2*3/2cosθ+9/4+1/2sin²θ
=1/4cos²θ+1/2cos²θ+3√3/2cosθ+9/4+1/2sin²θ
=1/4cos²θ+3√3/2cosθ+11/4
=1/4[cos²θ+6√3cosθ+（3√3）²]-1/4*（3√3）²+11/4
=1/4（cosθ+3√3）²-27/4+11/4
当cosθ=1时x²+y²最大
x²+y²最大=1/4（1+3√3）²-4=1/4（1+27+6√3）-4=3+3√3/2