题目
a是大于零的实数,已知存在惟一的实数k,使得关于x的二次方程x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0的两个根均为质数.求a的值.
提问时间:2021-03-31
答案
设方程的两个质数根为p﹑q.由根与系数的关系,有
p+q=-(k2+ak),①
pq=1999+k2+ak,②
①+②,得p+q+pq=1999,
则(p+1)(q+1)=24×53.③
由③知,p、q显然均不为2,所以必为奇数.
故
和
均为整数,且
•
=22×53,
若
为奇数,则必
=5r(r=1,2,3),从而,p=2×5r-1为合数,矛盾.
因此,
必为偶数.同理,
也为偶数.
所以,
和
均为整数,且
•
=53.
不妨设p≤q,则
=1或5.
当
=1时,
=53,得p=3,q=499,均为质数.
当
=5时,
=52,得p=19,q=99,q为合数,不合题意.
综上可知,p=3,q=499.
代入①得k2+ak+502=0.④
依题意,方程④有惟一的实数解.
故△=a2-4×502=0.
解得a=2
.
p+q=-(k2+ak),①
pq=1999+k2+ak,②
①+②,得p+q+pq=1999,
则(p+1)(q+1)=24×53.③
由③知,p、q显然均不为2,所以必为奇数.
故
p+1 |
2 |
q+1 |
2 |
p+1 |
2 |
q+1 |
2 |
若
p+1 |
2 |
p+1 |
2 |
因此,
p+1 |
2 |
q+1 |
2 |
所以,
p+1 |
2 |
q+1 |
2 |
p+1 |
4 |
q+1 |
4 |
不妨设p≤q,则
p+1 |
4 |
当
p+1 |
4 |
q+1 |
4 |
当
p+1 |
4 |
q+1 |
4 |
综上可知,p=3,q=499.
代入①得k2+ak+502=0.④
依题意,方程④有惟一的实数解.
故△=a2-4×502=0.
解得a=2
502 |
根据根与系数的关系,可得方程p+q=-(k2+ak),①pq=1999+k2+ak.②,从而得到(p+1)(q+1)=24×53,③.得出
•
=53,求得p=3,q=499,代入①得k2+ak+502=0,④,再根据判别式求得a的值.
p+1 |
4 |
q+1 |
4 |
质数与合数.
此题考查了二次方程根的情况与判别式△的关系以及根与系数的关系,质数的基本性质,有一定的难度.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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