题目

已知圆C:x^2+y^2+ax-4y+1=0(a属于R),过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A,B两点 P为线段AB的中点,
（1）求a的值； （2） 设E为圆C上异于A、B的一点,求△ABE面积的最大值.
(3) 从圆外一点M向圆c引一条切线,切点为n,且有|mn|=|mp|,求|mn|的最小值,并求出此时m点的坐标

提问时间：2021-03-31

答案

1、圆方程为：(x+a/2)^2+(y-2)^2=a^2/4+3,
圆心坐标C（-a/2,2)
P(0,1)j 弦AB的中点,因圆心纵坐标为2,故圆心在直线y=2上,
弦的直线方程为：y=x+1,
因P为弦AB的中点,故CP⊥AB,CP的直线方程为y=-x+1,(斜率为其负倒数,为-1）,
联立y=2,y=-x+1,求出交点,即为圆心坐标,
x=-1,
则圆心坐标C（-1,2）,
-a/2=-1,
∴a=2.
圆方程为：（x+1)^2+(y-2)^2=4.
圆和X轴相切于B（-1,0）点,
2、在相同底AB的三角形中,高最大者面积最大,因此应为过圆心的高,
E点在AB优弧的中点,
y=x+1代入圆方程,解出交点坐标A、B,
x=1,y=2,
或x=-1,y=0,
B（-1,0）,A（1,2）,
|AB|=2√2,|BP|=√2,
|CP|=√(R^2-BP^2)=√（4-2）=√2,
|EP|=R+|CP|=2+√2,
∴S△EAB（max)=(2+√2）*2√2/2=2√2+2.
3、最短距离应在CP的延长线上,
设M（x0,y0),|MN|=x,
|MP|=x,
|CP|=√2,CN⊥MN,
△CMN是RT△,
根据勾股定理,
MC^2=R^2+MN^2,
（√2+x)^2=2^2+x^2,
x=√2/2,
|MP|=√2/2
则x0=（√2/2）*cos45°=1/2,y0=（√2/2）*sin45°=1/2,
∴M(1/2,1/2),
∴|MN|(min)=√2/2.