题目

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：（Ⅰ）连接OP，OM．
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．
又∵A，P，O，M四点共圆
∴∠OPM=∠OAM
所以∠OAM+∠APM=90°．