题目

正方形ABCD中，M是BC边上异于B、C的一点，E是BC的延长线上的一点，AM⊥MN且交∠DCE的平分线于N．求证：AM=MN．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：连接AC交MN于P，过M作MF∥AC交AB于F．则△ABC和△FBM均为等腰直角三角形，BF=BM；
又∵BA=BC，
∴AF=MC，
∵∠AMN=∠ACN=90°，∠APM=∠NPC，
∴∠1=∠2．
又MF∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
又∵∠AFM=∠MCN=135°．
在△AFM和△MCN中，

∠3＝∠1 ∠AFM＝∠MCN AF＝MC

，
∴△AFM≌△MCN（AAS），
∴AM=MN．

连接AC交MN于P，过M作MF∥AC交AB于F，证明△AFM≌△MCN，由全等三角形的性质即可得到AM=MN．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．