题目

微积分、应用题,急
∫dx/根号下（X²+1）
∫XcosXdx
∫XcotXdx
∫sinX/(1-cosX)dx
lim X趋向于无穷 [ln(1+X)-lnX]/X
某海军基地,距陆地直线距离9KM,距离岸边的司令部 3又根号34 KM,知步行5KM/H,小船划行4KM/H,问,在何处登岸,到达司令部的时间最短.

提问时间：2021-03-31

答案

1)∫dx/√(x²+1),令x=tanQ,dx=sec²QdQ
=∫sec²QdQ/√(1+tan²Q)
=∫sec²QdQ/√sec²Q
=∫secQdQ
=ln|secQ+tanQ|+C
由于已设x=tanQ,根据直角三角形,
secQ=√(1+x²)/1=√(1+x²)
于是原式=ln|x+√(1+x²)|+C
2)∫xcosxdx,施展分部积分法
=∫xd(sinx)
=xsinx-∫sinxdx
=xsinx-(-cosx)+C
=xsinx+cosx+C
3)∫xcotxdx
=∫xd[ln|sinx|]
=xln|sinx|-∫ln|sinx|dx
由于∫ln|sinx|dx的解是特殊函数,
4)∫sinxdx/(1-cosx)
=∫d(-cosx)/(1-cosx)
=∫d(cosx-1)/(cosx-1)
=ln|cosx-1|+C
5)lim[x→∞] [ln(1+x)-lnx]/x
=lim[x→∞] ln[(1+x)/x]/x,令t=1/x,t→0
=lim[t→0] tln[t(1+1/t)]
=lim[t→0] ln[(1+t)^t]
=ln[lim[t→0] (1+t)^(1/t)*t²]
=lne*lim[t→0] t²
=1*0
=0
用洛必达法则也可以:
lim[x→∞] [ln(1+x)-lnx]/x
=lim[x→∞] 1/(x+1)-1/x,代入数值
=1/(∞+1)-1/∞
=1/∞
=0
6)设登岸位置为(D),
先用勾股定理求出距离海军基地(A)9km的陆地(B)位置与司令部(C)位置的距离:
=√[(3√34)²-9²]
=15km
经画图确立三地位置构成直角三角形
设陆地位置(B)和登岸位置(D)之间的距离为x:
在水中,路径AD距离=√(9²+x²)=√(81+x²)
所需时间为(1/4)√(81+x²)
在陆地,路径DC距离=15-x
所需时间为(1/5)(15-x)
得出时间与距离关系式:f(t)=(1/4)√(81+x²)+(1/5)(15-x),为从(A)地到(C)地所需时间
求导f'(t)=x/[4√(81+x²)]-1/5
解f'(t)=0就得到极值
x/[4√(81+x²)]-1/5=0
5x=4√(x²+81)
25x²=16x²+1296
x²=144
x=12或-12(舍去)
∴在x=12时得到极小值.
f(12)=(1/4)√(81+12²)+(1/5)(15-12)
=15/4+3/5
=4.35
∴到达司令部的最短时间是4.35小时.