题目

若关于x的方程4^x+2^x•a+a+1=0有实根，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-31

答案

令2^x=t＞0，原方程即为t²+at+a+1=0
.⇒a＝

−t2−1

t+1

＝−(t+1)−(

2

t+1

)+2，t＞0⇒a≤−2

2

+2，
当且仅当t＝

2

−1时等号成立．
故实数a的取值范围是(−∞，2−2

2

]．

先换元，令t=2^x，则关于 t 方程为t²+at+a+1=0 有实根，令a＝

−t2−1

t+1

，结合基本不等式即可解出实数m的取值范围．

本题考点：函数的值域；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查方程根存在的条件，方程的根即对应函数的零点，体现换元的数学思想，注意换元过程中变量范围的改变．