题目
已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.
提问时间:2021-03-31
答案
P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=t,则
PF1^2+PF2^2=t^2+(2a-t)^2=2t^2-4at+4a^2
=2(t-a)^2+2a^2,∈[2a^2,4a^2]
由余弦定理,4c^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2
∴PF1*PF2=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/2,
它的最大值为(4a^2-4c^2)/2=2b^2,
最小值为(2a^2-4c^2)/2=2b^2-a^2.
∴|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=t,则
PF1^2+PF2^2=t^2+(2a-t)^2=2t^2-4at+4a^2
=2(t-a)^2+2a^2,∈[2a^2,4a^2]
由余弦定理,4c^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2
∴PF1*PF2=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/2,
它的最大值为(4a^2-4c^2)/2=2b^2,
最小值为(2a^2-4c^2)/2=2b^2-a^2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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