题目

1.求证：如果五个整数的平方和仍是一个完全平方数,那么这六个数不可能都是奇数.
2.将长度为n的线段分成n段长度是1的线段,然后将原线段的两端涂上红色,各分点涂红色或蓝色.求证：长度是1且两端异色的线段有偶数条.

提问时间：2021-03-31

答案

1题
证明:用反证法,设这6个数分别为2a+1;2b+1;2c+1;2d+1;2e+1;2f+1,其中,a,b,c,d,e,f为互不相等的自然数,满足下式:
(2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)²+(2d+1)²+(2e+1)²=(2f+1)²
展开并整理后得:
4(a²+b²+c²+d²+e²)+4(a+b+c+d+e)+4=4f²+4f
a²+b²+c²+d²+e²+a+b+c+d+e+1=f²+f
上式可化为:
a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1)+e(e+1)+1=f(f+1)
因不论a为奇数还是偶数,a(a+1)必为偶数,同理,b(b+1),…,f(f+1)为偶数.
于是,式子
a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1)+e(e+1)+1=f(f+1)
等号左边为奇数,等号右边为偶数,矛盾.故此题得证.

2题
将原线段的两端涂上红色,各分点涂红色或蓝色以后,沿各分点剪断成长度为1的线段,则各分点涂的红色或蓝色点都为原来的2倍.
于是,必有长度为1的线段两端红色点数量总和为偶数,蓝色点数量总和也为偶数.
今用反证法,设长度是1且两端异色的线段有m条,m为奇数
则m条线段两端的红点和蓝点都为m.
剩下的n-m条线段两端同色,即剩下的n-m条线段两端蓝点和红点都为偶数.
因m为奇数,于是总的红色点数量为：偶+奇＝奇；总的蓝色点数量也为：偶+奇＝奇
与红色点数量总和为偶数,蓝色点数量总和也为偶数相矛盾.
故两端异色的线段数量必为偶数.