题目

已知圆 O：x²+y²=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为______．

提问时间：2021-03-31

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点Q（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
又P（1，1），且PA⊥PB，
∴

|AB|

2

=|PQ|，即|AB|²=4|PQ|²，
则(x1-y1)2+(x2-y2)2=4(x-1)2+4(y-1)2．
整理得：x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=4(x-1)2+4(y-1)2     ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12=x22+y22=4    ②
再由PA⊥PB，得

PA

•

PB

=0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x+2y-2   ③
把②③代入①得：(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

3

2

．
∴AB的中点Q的轨迹方程为(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

3

2

．
故答案为：(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

3

2

．

设出A、B和Q的坐标，由PA⊥PB，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列式，再由点A和B的坐标适合圆的方程及

PA

•

PB

＝0列式得到A，B的坐标和Q坐标的关系，整体代入后即可得到AB的中点Q的轨迹方程．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查了轨迹方程，考查了直角三角形中边角的关系，训练了利用代入法求轨迹方程，是中档题．