题目

对于函数f（x）=bx^3+ax^2-3x.
若函数f（x）为实数R上的单调函数,且b>=-1,设点P的坐标为（a,b）,试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.

提问时间：2021-03-31

答案

原函数求导得
f’（x）= 3bx^2+2ax-3.
原函数f（x）在实数R上是单调函数,要么单调递增,要么单调递减.
也就是说,导函数f’（x）要么恒为正,要么恒为负.
导函数是一个二次函数,那么相应地,其图像要么全在x轴上方,要么全在x轴下方.
一句话,导函数的判别式小于或等于0
△=（2a）^2-4*3b(-3)= 4a^2+36b≤0化简得
b≤-a^2/9 其中b≥-1(已知条件)
所以P点的轨迹为
y≤-x^2/9 （y≥-1）
它表示抛物线y= -x^2/9与直线y= -1所围成的一块区域.
两曲线联立求得交点为（-3,-1）（3,-1）
所求面积=∫《-3》《3》[（-x^2/9）-（-1）]dx
=（-x^3/27+x）∣《-3》《3》
=[-3^3/27+3]-[-(-3)^3/27+(-3)]
=(-1+3)-(1-3)
=4
(上式中∫为积分符号,第一个书名号为积分下标,第二个书名号为积分上标.)