题目

直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为______．

提问时间：2021-03-31

答案

由题知抛物线焦点为（1，0）
当直线的斜率存在时，设为k，则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由题意知斜率不等于0，
方程是一个一元二次方程，由韦达定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中点横坐标：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=

2

k

．即中点为（

k2+2

k2

，

2

k

）
消参数k，得其方程为
y²=2x-2
当直线斜率不存在时，直线的中点是（1，0），符合题意，
故答案为：y²=2x-2