题目

如何证明被椭圆截得的直线的线段的中点在同一直线上
已知一个椭圆x平方／4+y平方／9＝1，一组平行直线的斜率是 1.5
（1）这组直线何时与椭圆相交
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上

提问时间：2021-03-31

答案

答：
你的题目应该这样说：一组平行线与椭圆相交,每条都在椭圆内截成一条线段,求证：这些线段的中点共线?
这样证明：
设这组平行线形如Ax + By + C = 0,易知这些平行线只是C不同而已.
设椭圆方程是：x²/a² + y²/b² = 1,即：
b²x² + a²y² = a²b²
b²B²x² + a²B²y² = a²b²B²
b²B²x² + a²(Ax + C)² = a²b²B²
b²B²x² + a²A²x² + 2ACa²x + a²C² - a²b²B² = 0
(b²B² + a²A²)x² + 2ACa²x + a²C² - a²b²B² = 0
x1 + x2 = -2ACa²/(a²A² + b²B²)
同理：
y1 + y2 = -2BCb²/(a²A² + b²B²)
设线段中点坐标是(X,Y),则：
x1 + x2 = 2X
y1 + y2 = 2Y
所以：
X = -ACa²/(a²A² + b²B²)
Y = -BCb²/(a²A² + b²B²)
Y/X = Bb²/Aa²
Y = Bb²/Aa² X
Y = (B/A) * (b²/a²) X
中点的轨迹是直线方程且通过原点.与C无关说明这些线段的中点轨迹方程都是一样的.
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你具体问题中说斜率是1.5,相当于本题中A/B = - 3/2,那B/A = -2/3,b²/a²=9/4
y = -2/3 * 9/4 x
y = -3/2 x
y = -1.5 x
(不要误会哟,1.5完全是巧合,斜率不是相反数的关系,跟椭圆半轴有关哟)
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最后告诉你,只要把b² 换成-b²,还适用于双曲线.不过要判断(A²a² - B²b² ≠0)
双曲线的情况是：y = -(B/A)*(b²/a²) x
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