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题目
直线
3
x+y−2
3
=0
截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为(  )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

提问时间:2021-03-30

答案
过O作OC⊥AB,垂足为点C,
由圆的方程x2+y2=4,得到圆心O的坐标为(0,0),半径r=2,
∵圆心到直线
3
x+y-2
3
=0的距离d=|OC|=
2
3
2
=
3

∴直线被圆截得的弦|AB|=2
r2−d2
=2,
∴△AOB为等边三角形,即∠AOB=60°,
∴直线被圆截的劣弧
AB
所对的圆心角为60°.
故选C
由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d,由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长,由弦长等于圆的半径得到三角形ABC为等边三角形,即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°.

直线与圆相交的性质.

此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及等边三角形的判定与性质,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,再由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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