题目

已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．

提问时间：2021-03-30

答案

证明：在△ADE中，
∵OA⊥DE，DF⊥AE，
∴∠FAG+∠AFG=∠ODF+∠OFD=90°．
又∵∠AFG=∠OFD，
∴∠FAG=∠ODF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，
在△OAE和△ODF中，

∠FAG＝∠ODF OA＝OD ∠AOE＝∠DOF

，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．

根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠FAG=∠ODF，进而证明△OAE≌△ODF，根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OF．

本题考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确证明三角形全等是关键．