题目

设向量组α1,α2,…,αr线性相关,而其中任意r-1个向量都线性无关,证明:要使k1α1+k2α2+…+krαr=0成%C

提问时间：2021-03-30

答案

(1)k1a1+k2a2+...+krar=0
任意一项移到方程右边
k1a1+krar=kiai
若ki=0
因为其余r-1个线性无关
所以 其余系数都为0
即全为0
(2)任意r-1个向量都线性无关,则任意s(s反证法：若所有系数至少有1个系数有为0的,(k1..ki不等于0,其余为0)即k1,k2,...kr不是全不为0
则方程可写为 k1a1+..+kiai=0
这里的向量的个数<=r-1
根据（*）这些向量必线性无关
k1...ki全为0
又知道k1...ki不等于0 与假设矛盾
所以k1,k2,...kr全不为0
综上k1,k2,...kr必全不为0或全为0