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题目
求经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程.

提问时间:2021-03-30

答案
因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1,…(2分)
所以设圆心C的坐标为(a,a+1),
半径r=|PC|=
(a+2)2+(a-3)2
=
2a2-2a+13
,圆心C到x轴的距离为d=|a+1|,…(5分)
由题意得32+d2=r2,即32+(a+1)2=2a2-2a+13,
整理得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.…(9分)
当a=1时,圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13; …(10分)
当a=3时,圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.…(11分)
综上得,所求的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13或(x-3)2+(y-4)2=25…(12分)
求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1,设圆心C的坐标为(a,a+1),求出半径r的表达式,利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|,由题意得32+d2=r2,解得a,求出圆的方程即可.

圆的标准方程.

本题是中档题,考查圆的方程的求法,注意圆心到弦的距离与半径,弦长的关系的应用,考查计算能力,转化思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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