题目

已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,且当x=t时,取得最小值为:2-(1-t).
（1）求f（x）的解析式（一定要用t表示）（2）若x∈【-1,2】时,f（x）≥-1恒成立,求t的取值范围.

提问时间：2021-03-30

答案

（1）设f（x）=a（x-t） 2 +b,∵f（1）=2,∴a（1-t） 2 +b=2． 又当x=t时,取得最小值为:2-(1-t).∴a=1,则b=2-（1-t） 2 ,∴f（x）=（x-t） 2 +2-（1-t） 2 =（x-t） 2 -t 2 +2t+1． （2）①若t＜-1时,要使f（x）≥-1恒成立,只需f（-1）≥-1,即t≥- 3 4 ,这与t＜-1矛盾； ②-1≤t≤2时,要使f（x）≥-1恒成立,只需f（t）≥-1,即-t 2 +2t+1≥-1,即1- 3 ≤t≤1+ 3 ,∴1- 3 ≤t≤2； ③若t＞2时,要使f（x）≥-1恒成立,只需f（2）≥-1,即t≤3,∴2＜t≤3,综上所述t的取值范围是[1- 3 ,3]．