题目

高二数列证明
在数列（an）中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n
求：（1）设bn=an/2^(n-1),证明数列（bn）是等差数列.
（2）求数列（an）的前n项和Sn

提问时间：2021-03-30

答案

在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n
(1)设bn=an/2^(n-1).证明数列{bn}是等差数列,
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
1.证明：b(n+1)-bn=a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)
=(2an+2^n)/2^n-an/2^(n-1)
=(2an+2^n)/2^n-2an/2^n
=2^n/2^n
=1
因为1是常数,所以bn是等差数列
2.因为bn=an/2^(n-1),所以b1=a1/2(1-1)=1
所以bn=n
所以n=an/2^(n-1)
所以an=2^(n-1)×n
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+.+ n2^(n-1)
2Sn= 1*2^1+2*2^2+.+(n-1)2^(n-1)+n2^n
用2式－1式
Sn=-1-2^1-2^2-.2^(n-1)+n2^n
=-1-(2+2^2+2^3+...+2^(n-1))+n2^n
=(n-1)2^n+1