题目

观察下列一组数,11,21,12,31 ,22,1/3,41,32 23 14 ,51,42 ,33 ,24 51,.
根据以上规律,1.问22009是这组数中的多少个?并求出这个数前面所有数的积.（包括这个数）
2.问这组数中的2010个数是多少?

提问时间：2021-03-30

答案

解 1.将p+q称为分数p/q的高,显然上述数列的数是按高的大小,从小到大排列的,高最小为2,高为2的数仅有1个(1/1),高为3的数有2个(2/1,1/2),高为4的数有3个(3/1,2/2,1/3),…,一般地高为n的有n-1个:(n-1)/1,(n-2)/2,…,1/(n-1),同高的数按分子从大到小的顺序排列的.
数2/2009的高为2+2009=2011,排在它前面的有所有高≤2010的数,这些数应有1+2+3+…+2009个数,2/2009在高为2011的同高的数中排在第2009个位置上,故它应排在该数列的
1+2+3+…+2009+2009=2009×2010/2+2009=2021054个位置上,故2/2009是这组数中的第2021054个数.
显然所有同高的数的乘积为1,故所有高≤2010的数的乘积为1,这个数前面(包括这个数)所有数的积应为位于2/2009前面(包括这个数)所有高为2011的数的乘积,即
(2010/1)×(2009/2)×…×(3/2008)×(2/2009)=2010/1=2010
2.高不超过n的所有数的个数为
1+2+3+…+(n-1)= n(n-1)/2
故求满足n(n-1)/2≤2010最大整数得 n=63,即高不超过63的数共有62×63/2=1953个,故第2010个数应是高为64,2010-1953=57,故第2010个数应是高为64且排在同高数的第57个位置上,故第2010个数是7/57.