题目

在直线坐标平面上给定一曲线y^2=2x
设点A的坐标为（a,0）,a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f（a）的函数表达式.

提问时间：2021-03-30

答案

已知：曲线方程为y²=2x,
设P为其上一点,则：点P坐标为(x,√(2x)),
显然,有：x≥0
PA距离为f(a),有：f(a)=√{(x-a)²+[√(2x)]²}
f(a)=√(x²-2ax+2x+a²)
f(a)=√[x²-2(a-1)x+a²]
f(a)=√[x²-2(a-1)x+(a-1)²-(a-1)²+a²]
f(a)=√[(x-a+1)²+2a+1]
可见：当x-a+1=0时,f(a)取得最小值.
此时有：x=a-1
代入f(a),有：
f(a)min=√(2a+1)
此即为所求.