题目

请高手探讨平均值不等式需要几个定值
在高中所学的,记得对均值不等式的最小解求解有个前提是,一正二定三相等,其中的二定代表着a+b为定值,那位朋友能告诉我是为什么必须要这样呢?如果不行请给出反例,那如果a和b中,只有一值为定值,另外一个在变,可否呢?
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这个问题源于对这一题的求解中：
知点P(x,y)在x+3y=3运动,求函数f(x,y)=3^x + 9^y的最小值
不，就是X+3y=3
解题过程稍许复杂
题我知道怎么做，但在将式子写成这样 f(x,y) =27 t^(-3) +t^2
=(27/2) t^(-3) +(27/2) t^(-3) +(1/3) t^2 +(1/3) t^2 +(1/3) t^2
>=五次根号 [ (27/2) t^(-3) *(27/2) t^(-3) *(1/3) t^2 *(1/3) t^2 *(1/3) t^2]
=3^(3/5) *2^(-2/5).
时，t不是在变吗？ 主要不是题，我是想请教关于定值的问题，如原话所说，谢谢 ： ）

提问时间：2021-03-30

答案

所谓的“二定”,是对刚学习不等式的中学生而言的,对高手无此限制.
例如：设a>0,b>0,求y=2a+b+1/(ba^4)的最小值.
用两次均值不等式：
第一次,y>=2a+2根号[b*1/(ba^4)]=2a+ 2/a^2.
第二次,2a+ 2/a^2=a+a+2/a^2>=3(a*a*2/a^2)^(1/3)=3*2^(1/3).（三正数均值不等式）
这里第一次用均值不等式就没有定值可谈!第二次的最后结果才是定值.
也许一道难题需要用多次均值不等式,并非每次用都要有定值才行!