题目

如图①，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm．动点P在线段BC上以1cm/s的速度从点B运动到点C．过点P作PE⊥BC与AB交于点E，以PE为对称轴将PE右侧的图形翻折得到△B′PE，设点P的运动时间为x（s）．

（1）求点B′落在边AC上时x的值．
（2）当x＞0时，设△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积为y（cm²），求y与x之间的函数关系式．
（3）如图②，点P运动的同时另有一动点D在线段AC上以2cm/s的速度从点C运动到点A．Q为CD的中点，以DQ为斜边在线段AC右侧作等腰直角△DQM．
①求当（2）中△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍时x的取值范围．
②当△DQM 的顶点落在△B′PE的边上时，直接写出所有符合条件的x值．

提问时间：2021-03-30

答案

（1）由翻折得：BP=B'P=x，∵点B′落在边AC上，∴BP=12BC=12×4=2．∵BP=x，∴x=2．∴点B'落在边AC上时x的值为2．               &nbs...

（1）根据翻折的性质得：BP=B'P=x，再根据点B′落在边AC上，可得BP=

1

2

BC=

1

2

×4=2，从而求得点B′落在边AC上时x的值．
（2）分0＜x≤2，2＜x≤4两种情况讨论得到y与x之间的函数关系式．
（3）①分0＜x≤2，2＜x≤4，由△B′PE和直角△ABC重叠部分图形面积是△DQM的面积4倍，得到关于x的方程，即可求解．
②分三种情况：△DQM 的顶点M落在△B′PE的边B′E上；△DQM 的顶点Q落在△B′PE的边B′E上；△DQM 的顶点D落在△B′PE的边PE上；进行讨论即可求解．

本题考点：相似形综合题

考点点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：翻折的性质，三角形的面积，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．