题目

已知O是平面直角坐标系的原点,P(m,a)是抛物线y=ax^2上的点,且点P在第一象限,
（1）求m的值；
（2）直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M,
①当b=2a时,∠OPA=90度是否成立?如果成立,请证明；如果不成立,请举一个反例说明；
②当b=4时,记△MOA的面积为S,求S分之一的最大值.

提问时间：2021-03-30

答案

1
A=A*M方 M方=1 M=1 M=-1(舍去)
2
Y=KX+2A=AX方
AX方-KX-2A=0
X=1是其一个解
则A-K-2A=0 A=-K
P(1,A) A(-2A/K,0)即(2,0)
若∠OPA=90度
则1方+A方+(2-1)方+A方=2方
2A方=2
A方=1
A=1或A=-1
因Y=KX+B为降调即K0
所以A=1 K=-1
即Y=-X+2 Y=X方
即成立
Y=KX+4 Y=AX方
AX方-KX-4=0
A-K-4=0
即-K=4-A
AX方+(4-A)X-4=0
(AX+4)(X-1)=0
X=-4/A
代入Y=AX方
Y=16/A 即M(-4/A,16/A)
A(4/(4-A),0)
则S=4/(4-A)*16/A*1/2
1/S=(4-A)*A*2/64=-A方/32+A/8
当A=1/8/(2/32)=2时,1/S有最大值=1/8