题目

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-30

答案

设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，
即ax²+（b+4）x+c=0两个根是1，3．
∴

− b+4 a ＝4 c a ＝3

∴b=-4a-4，c=3a
又f（x）的最大值大于-3，即

4ac−b2

4a

＞−3
消去b，c得到关于a不等式，
a²+5a+4＞0
解得a的取值范围是-1＜a＜0或a＜-4．

不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3），得方程f（x）=-4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于-3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．

本题考点：一元二次不等式与二次函数．

考点点评：本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要把条件转化成关于a的不等关系．