题目

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点坐标为（-1,0）,且对任意实数x,x≤f(x)≤1/2（x^2+1）,求函数表达式

提问时间：2021-03-30

答案

将（-1,0）代入得
b=a+c
1）由x≤f(x)=ax^2+(a+c)x+c
=>ax^2+(a+c-1)x+c≤0对一切x都成立,所以有
a(a-1/2)x^2+(a+c)x+(c-1/2)≤0对一切x都成立,所以有
a-1/2a-c=0=>a=c
将结果代入[1]和[2]得
2a+2c-1≤0[3]；-2a-2c+1≤0[4]
由上面两式又可以发现
2a+2c-1=0,结合a=c得
a=c=1/4,满足0