题目

已知抛物线f（x）=ax²+bx+

1

4

的最低点为（-1，0），
（1）求不等式f（x）>4的解集；
（2）若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求实数t的取值范围．

提问时间：2021-03-30

答案

（1）依题意，有

- b 2a =-1 f(-1)=a-b+ 1 4 =0

⇒

a= 1 4 b= 1 2

，
因此，f（x）的解析式为f（x）=(

x+1

2

)2；
故f（x）>4⇒x²+2x-15>0，解得x<-5或x>3，
所以不等式的解集为：{x|x<-5或x>3}；
（2）由f（x-t）≤x（1≤x≤9），得(

x-t+1

2

)2≤x（1≤x≤9），
解之得，(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），
由此可得t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，
所以实数t的取值范围是{t|t=4}．

（1）由题意可得f（-1）=0，-

b

2a

＝−1，解出方程组可求得a，b，利用二次函数的性质可解不等式f（x）＞4；
（2）由f（x-t）≤x（1≤x≤9），可解得(

x

−1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），问题可转化为t≤[(

x

+1)2]min且t≥[(

x

−1)2]max，解出相应函数的最值即可；

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．